תורת הכאוס: מה ההבדל בין התנהגות כאוטית להתנהגות אקראית?


תשובה 1:

הסיפור הקצר הוא הבא. התנהגות אקראית היא לא דטרמיניסטית: גם אם היית יודע את כל מה שניתן לדעת על מערכת בזמן נתון בפרטי פרטים מושלמים, עדיין לא תוכל לחזות את המצב בזמן עתידי. התנהגות כאוטית, לעומת זאת, היא דטרמיניסטית לחלוטין אם אתה מכיר את המצב ההתחלתי בפרטי פרטים, אך כל דיוק במצב ההתחלתי, לא משנה כמה הוא קטן, גדל במהירות (מעריכית) עם הזמן.

מערכות אקראיות

השלכת מטבעות או הגרלה הם דוגמאות למערכות אקראיות [*]. אתה יכול לזרוק מטבע מיליון פעם, לדעת את התוצאה כל פעם מחדש, אבל זה לא יעזור לך בכלל לחזות את התוצאה של ההטלה הבאה. באופן דומה, תוכלו לדעת את ההיסטוריה השלמה של המספרים שזכו בלוטו, אך זה לא יעזור לכם לזכות בלוטו. (אם זה נשמע מפתיע, ראה את השגיאות של המהמר.)

[*] אני מתכוון כאן למערכות אידיאליות בהן האקראיות באה לידי ביטוי.

Itsimportanttopointout,however,thatrandomsystemsarenotnecessarilycompletelyunpredictable.Take,forexample,aGaussianrandomwalk,inwhichaparticlespositionisupdatedateverytimestepbyasmalldisplacementinarandomdirection,withmagnitudedrawnfromaGaussiandistributionwithstandarddeviationσ.Whileitsimpossibletoexactlypredictwheretheparticlewillbeafter[math]n[/math]steps,itispossibletoshowthat,withhighprobability,itwontbemuchfartherthan[math]σn[/math].If[math]σ[/math]issmall,thismightmeanthatyouactuallycanpredictwheretheparticlewillbewithhighaccuracy,despitetherandomnessofthesystem.It's important to point out, however, that random systems are not necessarily completely unpredictable. Take, for example, a Gaussian random walk, in which a particle's position is updated at every time step by a small displacement in a random direction, with magnitude drawn from a Gaussian distribution with standard deviation \sigma. While it's impossible to exactly predict where the particle will be after [math]n[/math] steps, it is possible to show that, with high probability, it won't be much farther than [math]\sigma \sqrt n[/math]. If [math]\sigma[/math] is small, this might mean that you actually can predict where the particle will be with high accuracy, despite the randomness of the system.

כדי להפוך את זה לאינטואיטיבי יותר, דמיין לעצמך לנסות למצוא שיכור. הוא עזב את הבר בחצות וחיפשת אותו כעבור שעה. מכיוון שהוא שיכור, הוא צועד ללא מטרה ולא תוכלו לדעת בדיוק היכן הוא נמצא. עם זאת, בידיעה שהוא הולך בקצב של צעד אחד בשנייה, ובהנחה שכל צעד נלקח בכיוון חדש, אקראי לחלוטין, אתה יודע שאחרי שעה הוא לא יכול להיות רחוק יותר מ -60 מדרגות (אולי מאה צעדים הרחק מהמקום שעזב.

מערכות כאוטיות

Oneoftheusualexamplesofchaoticbehavioristhelogisticmap.Thestateofasystemisrepresentedbyanumberxwhichevolvesindiscretetimesteps.Ateachstep,thestateischangedaccordingto[math]xn+1=rxn(1xn).[/math]Forsomevaluesof[math]r[/math],thebehaviorof[math]xn[/math]isrelativelysimple:forlarge[math]n[/math],[math]xn[/math]willoscillatebetweenafinitesetofvalues.However,formostvaluesof[math]r[/math]beyondabout3.57,thefinalbehaviorofthesystemisextremelydependentoninitialconditions.Thisbehaviorissummarizedinabifurcationdiagram,whichlookslikethisforthelogisticmap:One of the usual examples of chaotic behavior is the logistic map. The state of a system is represented by a number x which evolves in discrete time steps. At each step, the state is changed according to[math]x_{n+1} = r x_n (1-x_n)\,.[/math]For some values of [math]r[/math], the behavior of [math]x_n[/math] is relatively simple: for large [math]n[/math], [math]x_n[/math] will oscillate between a finite set of values. However, for most values of [math]r[/math] beyond about 3.57, the final behavior of the system is extremely dependent on initial conditions. This behavior is summarized in a bifurcation diagram, which looks like this for the logistic map:

(מתוך ויקיפדיה)

Thisshowswherexmightendupafteralargenumberofstepsasafunctionof[math]r[/math].Asyoucansee,whileforsmall[math]r[/math],thereareonlyacoupleofasymptoticvaluesfor[math]x[/math],for[math]r[/math]around3.6andlarger,[math]x[/math]canbeallovertheplace.This shows where x might end up after a large number of steps as a function of [math]r[/math]. As you can see, while for small [math]r[/math], there are only a couple of asymptotic values for [math]x[/math], for [math]r[/math] around 3.6 and larger, [math]x[/math] can be all over the place.

Adifferentwaytolookatthisisthefollowing.Belowisaplotshowingthevaluesofxnfortwostartingvalues,[math]x0(1)=0.40[/math]and[math]x0(2)=0.41[/math],for[math]r=3.5[/math].Thevaluesforthefirstsequence(startingwith0.40)areplacedonthe[math]x[/math]axis,whilethevaluesforthesecondsequence(startingwith0.41)areplacedonthe[math]y[/math]axis.Theresapointforevery[math]n[/math].A different way to look at this is the following. Below is a plot showing the values of x_n for two starting values, [math]x_0^{(1)} = 0.40[/math] and [math]x_0^{(2)} = 0.41[/math], for [math]r = 3.5[/math]. The values for the first sequence (starting with 0.40) are placed on the [math]x[/math]-axis, while the values for the second sequence (starting with 0.41) are placed on the [math]y[/math]-axis. There's a point for every [math]n[/math].

Thewaytoreadthisplotisthefollowing.Ifforagivenn,thevaluesofthetwosequencesareequal,thenyouwillgetapointonthediagonal(representedwithadashedlineintheplot)the[math]x[/math]andthe[math]y[/math]coordinatesforthispointareequal.Ifthetwovaluesaresimilarbutnotequal,youllgetapointclosetothediagonalbutnotonit.Iftheyarecompletelydifferent,thepointwillbefarfromthediagonal.Asyoucansee,althoughthetwosequencesstartedfromdifferentinitialconditions,theybehavemoreandmorealikeasthenumberofstepsincreases:mostofthepointsontheplotareonorclosetothediagonal.(Note:Icoloredthepointswithalightershadeofredforsmall[math]n[/math]sothatthereddestpointsareforlatertimes)The way to read this plot is the following. If for a given n, the values of the two sequences are equal, then you will get a point on the diagonal (represented with a dashed line in the plot) -- the [math]x[/math] and the [math]y[/math] coordinates for this point are equal. If the two values are similar but not equal, you'll get a point close to the diagonal but not on it. If they are completely different, the point will be far from the diagonal. As you can see, although the two sequences started from different initial conditions, they behave more and more alike as the number of steps increases: most of the points on the plot are on or close to the diagonal. (Note: I colored the points with a lighter shade of red for small [math]n[/math] so that the reddest points are for later times)

Nowtakealookatwhathappenswhenr=3.7.Now take a look at what happens when r=3.7.

מולי קדוש! הנקודות בכל מקום! משמעות הדבר היא שלמרות שהתחלנו עם שני תנאים ראשוניים דומים מאוד, שני הרצפים נראים דבר לא דומה. זהו כאוס.

הבחנת הכאוס מהאקראיות

זה ממש לא טריוויאלי להבחין באקראי בין מספרים לא אקראיים. לדוגמה, נניח שאומר לך כי להלן התוצאה של השלכת מטבעות (1 זה ראשים, 0 זה זנבות): [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1] (זה ארבעה עשר כאלה). האם זה נראה לך אקראי? אני בטוח שזה לא. עם זאת מצאתי בדיוק שהרצף מופיע פעמיים בעשרת אלפים השלכות מטבעות שנוצרו באמצעות מחולל מספרים אקראיים אמיתי (random.org). אותם עשרת אלפים מטלות מטבע מכילות גם את הרצף [1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0] פעמיים, ו [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] ( שמונה עשרה אפסים) פעם אחת. כמובן שההתרחשויות הללו נדירות (בהתחשב בכל רצף באורך 14, הייתם מצפים שהוא יופיע באחת מתוך כ- 16000 תיקו), אך יחד עם זאת, אין זה מפתיע שאנו רואים אותם כאן, מכיוון שהשתמשנו ב 10000 דוגמאות. מצא אותם. העניין, עם זאת, הוא שאם מישהו נותן לך דוגמאות מרצף אקראי, אין שום דבר במדגם עצמו שיכול לומר לך אם מקור המדגם היה תהליך אקראי או לא.

עכשיו השווה את הרצפים שהראתי לעיל עם זה: [1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0] זה נראה אקראי יותר, נכון? ובכן, הוא נוצר באמצעות גנרטור פסאודורנדום במחשב שלי, מה שאומר שהוא מחושב למעשה באופן דטרמיניסטי מהדינמיקה של מערכת כאוטית! זה מראה על הקושי להבחין באקראיות "אמיתית" ממה שאתה מקבל כשאתה פשוט לא יודע את המצב המדויק של מערכת.

בלתי צפויות

חשוב לא לבלבל בין אקראיות לבלתי צפויות. התנהגות אקראית אינה ניתנת לחיזוי במובן הקפדני (אי אפשר לבצע תחזיות מושלמות), אך היא ניתנת לחיזוי במידה גבוהה של דיוק (כמו במקרה של ההליכה האקראית עליה כתבתי קודם). לעומת זאת, יכולת החיזוי יכולה להיות כתוצאה מאקראיות (כמו חוסר היכולת לחזות בדיוק מתי יתרחש ריקבון רדיואקטיבי), אך ברוב המקרים זה פשוט בגלל חוסר היכולת שלנו למדוד את המצב הראשוני של מערכת בצורה מדויקת ולעקוב אחריה בצורה מדויקת מספיק (כמו במקרה של חיזוי מזג אוויר או ניסיון לחזות היכן תיפול טיפת מים מגל שמתזה על החוף [זו דוגמא בגלל פיינמן שלא אוכל למצוא שום התייחסות אליו כרגע]).


תשובה 2:

יש כמה תיאורים מצוינים של תורת הכאוס ואקראיות בתשובה לשאלה זו, אך אולי ראוי לציין כי המסגרת הרעיונית של תורת הכאוס היא בעלת ערך רב בתחומים רבים ושונים; במיוחד בכלכלה ועסקים, מדובר בתחומים שבהם אסטרטגים צריכים להיות בעלי שליטה מסוימת על סיטואציה מורכבת בה ישנם גורמים אינטראקציה רבים מדי בכדי שיוכלו לחזות תוצאות.

הטבע, הוא דוגמא עיקרית לאסטרטג המשתמש במסגרת הרעיונית של תורת הכאוס כדי ליצור מערכות ביולוגיות יעילות באופן אופטימלי. המפתח לשימוש מועיל בתיאוריית הכאוס הוא להבין שהיא עוסקת במערכות דינמיות, המורכבות משלל אלמנטים אינטראקציה. מערכות כאלה כפופות לחוקים פיזיקליים בסיסיים הגורמים להם לנסות תמיד להתיישב למצב יציב (לפחות אנרגיה). למרות שמצב יציב זה אינו ניתן לחיזוי, ניתן לשמור אותו על מספר רב של וריאציות באינטראקציות המרכיבות.

תורת הכאוס אומרת לנו שאם יחסי הגומלין בין הרכיבים יגיעו לסף קריטי המערכת תהפוך לכאוטית ואז תתייצב למצב יציב חדש ושונה. הטבע משתמש בתופעה זו כדי לעורר התקדמות אבולוציונית. ניתן לסבול בעיקר וריאציות גנטיות במערכת ביולוגית, אך מדי פעם יכול להספיק שינוי גנטי בכדי לגרום למערכת הביולוגית לתפקד בצורה שונה באופן משמעותי. זה יכול להיות לטוב ולרע. תחרות בין מערכות ביולוגיות מבטיחה שהמערכות המשתנות לטובה יישמרו והשינויים הנחותים יאבדו.

למרות שהם אולי לא יודעים דבר על תורת הכאוס, כלכלנים חכמים ואנשי עסקים מודעים לתופעה זו וכאשר מערכת לא מתנהגת איך הם רוצים שהיא תתנהג, הם מבצעים שינויים כדי להפוך אותה למדינה חדשה. הם צריכים להיות אמיצים מספיק כדי להתמודד עם התוהו ובוהו הטווח הקצר שכרוך בזה ולהיות מוכנים לסיים את השינויים אם המצב יתקיים במצב גרוע יותר, אך זו הדרך היחידה שתוכלו להתמודד עם מערכות מורכבות ולשלוט בהן. כמה חבל שהפוליטיקאים שלנו לא לומדים בתיאוריית הכאוס.


תשובה 3:

אולי במובן בסיסי מסוים אין הבדל,

כלומר אין דבר כזה אקראיות אמיתית בטבע.

אולי יש רק דרגות של אקראיות, הנקבעות על ידי ה-

מידת האנטרופיה בתופעה. הבעיה היא מושלמת

לאקראיות אין תוכן מידע כלשהו, ​​וזה,

כשלעצמו זה מידע. פרדוקס מסוגים.


תשובה 4:

אולי במובן בסיסי מסוים אין הבדל,

כלומר אין דבר כזה אקראיות אמיתית בטבע.

אולי יש רק דרגות של אקראיות, הנקבעות על ידי ה-

מידת האנטרופיה בתופעה. הבעיה היא מושלמת

לאקראיות אין תוכן מידע כלשהו, ​​וזה,

כשלעצמו זה מידע. פרדוקס מסוגים.


תשובה 5:

אולי במובן בסיסי מסוים אין הבדל,

כלומר אין דבר כזה אקראיות אמיתית בטבע.

אולי יש רק דרגות של אקראיות, הנקבעות על ידי ה-

מידת האנטרופיה בתופעה. הבעיה היא מושלמת

לאקראיות אין תוכן מידע כלשהו, ​​וזה,

כשלעצמו זה מידע. פרדוקס מסוגים.


תשובה 6:

אולי במובן בסיסי מסוים אין הבדל,

כלומר אין דבר כזה אקראיות אמיתית בטבע.

אולי יש רק דרגות של אקראיות, הנקבעות על ידי ה-

מידת האנטרופיה בתופעה. הבעיה היא מושלמת

לאקראיות אין תוכן מידע כלשהו, ​​וזה,

כשלעצמו זה מידע. פרדוקס מסוגים.


תשובה 7:

אולי במובן בסיסי מסוים אין הבדל,

כלומר אין דבר כזה אקראיות אמיתית בטבע.

אולי יש רק דרגות של אקראיות, הנקבעות על ידי ה-

מידת האנטרופיה בתופעה. הבעיה היא מושלמת

לאקראיות אין תוכן מידע כלשהו, ​​וזה,

כשלעצמו זה מידע. פרדוקס מסוגים.


תשובה 8:

אולי במובן בסיסי מסוים אין הבדל,

כלומר אין דבר כזה אקראיות אמיתית בטבע.

אולי יש רק דרגות של אקראיות, הנקבעות על ידי ה-

מידת האנטרופיה בתופעה. הבעיה היא מושלמת

לאקראיות אין תוכן מידע כלשהו, ​​וזה,

כשלעצמו זה מידע. פרדוקס מסוגים.


תשובה 9:

אולי במובן בסיסי מסוים אין הבדל,

כלומר אין דבר כזה אקראיות אמיתית בטבע.

אולי יש רק דרגות של אקראיות, הנקבעות על ידי ה-

מידת האנטרופיה בתופעה. הבעיה היא מושלמת

לאקראיות אין תוכן מידע כלשהו, ​​וזה,

כשלעצמו זה מידע. פרדוקס מסוגים.


תשובה 10:

אולי במובן בסיסי מסוים אין הבדל,

כלומר אין דבר כזה אקראיות אמיתית בטבע.

אולי יש רק דרגות של אקראיות, הנקבעות על ידי ה-

מידת האנטרופיה בתופעה. הבעיה היא מושלמת

לאקראיות אין תוכן מידע כלשהו, ​​וזה,

כשלעצמו זה מידע. פרדוקס מסוגים.


תשובה 11:

אולי במובן בסיסי מסוים אין הבדל,

כלומר אין דבר כזה אקראיות אמיתית בטבע.

אולי יש רק דרגות של אקראיות, הנקבעות על ידי ה-

מידת האנטרופיה בתופעה. הבעיה היא מושלמת

לאקראיות אין תוכן מידע כלשהו, ​​וזה,

כשלעצמו זה מידע. פרדוקס מסוגים.


תשובה 12:

אולי במובן בסיסי מסוים אין הבדל,

כלומר אין דבר כזה אקראיות אמיתית בטבע.

אולי יש רק דרגות של אקראיות, הנקבעות על ידי ה-

מידת האנטרופיה בתופעה. הבעיה היא מושלמת

לאקראיות אין תוכן מידע כלשהו, ​​וזה,

כשלעצמו זה מידע. פרדוקס מסוגים.


תשובה 13:

אולי במובן בסיסי מסוים אין הבדל,

כלומר אין דבר כזה אקראיות אמיתית בטבע.

אולי יש רק דרגות של אקראיות, הנקבעות על ידי ה-

מידת האנטרופיה בתופעה. הבעיה היא מושלמת

לאקראיות אין תוכן מידע כלשהו, ​​וזה,

כשלעצמו זה מידע. פרדוקס מסוגים.